Température des planètes

chapitre 2 : planètes à atmosphères absorbantes

(suite du  chapitre précédent)

effet de serre : un modèle simple

Dans ce modèle on suppose que l'atmosphère est composée d'une seule couche à une température Ta et d'émissivité ε.

L'atmosphère étant considérée en équilibre thermodynamique local (LTE), la loi de Kirchhoff qui stipule que ε_λ = a_λ , donc que l'émissivité est égale à l'absorptivité pour une longueur d'onde donnée λ, peut donc s'appliquer.

Elle est étendue à l'ensemble des longueurs d'onde qui composent le spectre IR terrestre.

En conséquence, on peut écrire que :

 ε = a <1.

L'atmosphère est alors considérée comme un corps gris, dont l'absorption IR ne dépend pas de la longueur d'onde λ.

La surface terrestre, quant à elle, dans le domaine de l'IR thermique, a une émissivité très voisine de 1, c'est quasiment un corps noir.

L'albédo global de la planète,α , représente la fraction de rayonnement solaire, S, réfléchi et renvoyé vers l'espace.

En conséquence S(1-α) représente le rayonnement absorbé par la surface, si on admet que l'atmosphère n'absorbe pas.

Après ces hypothèses de base, on peut faire les bilans énergétiques

équations bilan

TOA

S(1-α) = (1-ε).σ.T_s⁴ + ε.σ.T_a⁴       (1)

atmosphère

2 T_a⁴  =  T_s⁴     (2)

d'où

T_a = (1/2)^0.25 . T_s   (3)

surface

(1-α)S + ε.σ.T_a⁴  =  σ.T_s⁴  (4)

(1) et (2) donnent

S(1-α) = (1-ε).σ.T_s⁴ + ε/2.σ.T_s⁴     

S(1-α) = (1-ε/2). σ.T_s⁴      (5)

cette relation est très importante puisqu' elle permet de relier la température de surface avec, non seulement le flux solaire et l'albédo, mais aussi et surtout, dans le cas qui nous occupe, avec l'émissivité ou absorptivité de l'atmosphère.

C'est, en quelque sorte, une première expression mathématique très simple de l'effet de serre.

on peut exprimer directement la température en fonction de S, α, et ε

on a

T_s = ( S(1-α) / (1-ε/2). σ)^0.25   (6)

on voit aisément que la température de surface augmente avec l'émissivité de l'atmosphère.

Ce modèle n'a bien sûr qu'un rôle explicatif de base du phénomène.

il a de nombreux inconvénients, entr'autres :

-         il est purement radiatif en ce sens que la température de l'atmosphère (considérée comme isotherme) ne    dépend que des flux radiatifs alors qu'en réalité elle varie verticalement en fonction du gradient adiabatique.

-         l'émissivité est indépendante de la fréquence du rayonnement

-         le transfert de chaleur par convection n'est pas pris en compte

-         l'absorption du rayonnement solaire par l'atmosphère est nulle

-         le modèle ne rend pas compte du comportement des atmosphères très fortement absorbantes

Il est toutefois figuratif du fonctionnement d'une serre idéalisée sans couplage thermique.

cas du couplage thermique

imaginons un flux thermique Q entre la surface et l'atmosphère (supposée plus froide)

l'équation bilan TOA ne change pas

pour l'atmosphère

2 ε σ T_a⁴  = ε σ T_s⁴  + Q            (7)

pour la surface

(1-α)S + ε.σ.T_a⁴  =  σ.T_s⁴  + Q    (8)

on aboutit à

T_s = [( S(1-α) -Q/2 )/ (1-ε/2 ). σ] ^0.25      (9)

la valeur de Q est limitée par le fait que pour qu'un flux de chaleur sensible ou latente puisse circuler entre surface et atmosphère, il faut que T_a < T_s.

l'équation 9 permet cependant de mettre en évidence qu'un couplage thermique diminue la température de surface et ainsi l'efficacité de la serre.

si la couche d'atmosphère est un CN, ε = 1 et l'équation 9 devient :

T_s = [2( S(1-α) -Q/2 )/ σ] ^0.25      (10)

on voit que si on transmet l'intégralité de la chaleur issue du flux solaire, soit Q = S(1-α), à l'atmosphère (ou à la vitre)

dans ce cas :

T_s = T_a = [ S(1-α) / σ] ^0.25.  (11)

Il n'y a plus d'effet de serre lorsque surface et atmosphère (ou vitre) sont en couplage thermique intégral.

examen du bilan radiatif complet de la Terre au travers de ce modèle simplifié

Dans les nombreux graphiques qui illustrent les bilans radiatifs de la planète, on voit apparaître des flux de convection (humide et sèche) de l'ordre de 100 W/m2 qui émanent de la surface.

comme par exemple dans ce graphique de Trenberth 2009.

Il apparaît, en plus des flux radiatifs, des flux convectifs « thermal »  de 17 W/m2 et « evapotranspiration » de 80 W/m2.

Si on considère le modèle simple ci-dessus avec l'atmosphère réduite à une couche fine proche d'un corps noir dans le domaine IR terrestre, la valeur de T_s sans flux convectif de 100W/m2 est de 302.5°K (soit 29.4°C).

Avec un flux convectif cette température de surface s'élève à 285.1°K (12°C).

Supprimer toute convection reviendrait à élever la température moyenne de surface de plus de 17°C, selon ce modèle simple.

D'où l'importance de limiter les facteurs pouvant contribuer à la réduction de cette convection, comme les aérosols carbonés de basse couche par exemple.

Dans le schéma Trenberth, notons que le flux atmosphère vers surface est particulièrement élevé, alors que le flux solaire absorbé par la surface est plus faible de 80W/m2 environ que S(1-α).

Ceci est du à l'absorption d'une partie du rayonnement solaire par l'atmosphère.

Il est intéressant de remarquer que la quasi-intégralité de cette absorption semble se transmettre à la surface et dans les calculs simplifiés on peut faire l'impasse sur l'absorption atmosphérique.

application  au calcul de la variation de température de surface sans rétroactions, à la suite d'un doublement de la teneur en CO2.

le calcul du forçage radiatif TOA s'effectue avec la formule simplifiée suivante :

F = 5.35 * log_e (CO2/CO2₀)    (12)

pour CO2/CO2₀ = 2

F = 3.7 W/m2

le forçage TOA doit être compris comme la variation du flux net au sommet de l'atmosphère, toutes conditions initiales identiques, autres que la variation de l'entité (GES, aérosols, solaire, albédo...).

C'est donc la variation du flux TOA avant toute réaction du système.

Dans le cas de l'introduction instantanée de CO2 (doublement), substance qui absorbe l'IR terrestre, le flux IR sortant de l'atmosphère baisse donc de 3.7W/m2.

Comme on part d'une condition d'équilibre TOA, il rentre plus d'énergie dans le système qu'il n'en sort (à flux solaire et albédo constants).

En conséquence l'énergie interne du système augmente et, si on suppose que toute cette variation d'énergie interne provient de la température (selon le premier principe de la thermodynamique) la température du système augmente afin de rétablir l'équilibre (flux net = 0).

Le flux IR montant est égal à (équation 1) :

F _TOA = (1-ε).σ.T_s⁴ + ε.σ.T_a⁴      (13)

et comme

2 T_a⁴  =  T_s⁴    

on a

F _TOA = (1-ε/2).σ.T_s⁴  (14)

le CO2 a été introduit, en conséquence, en l'absence de rétroactions, ε est constante.

faisons le log des deux membres de l'équation et dérivons :   

d F _TOA /  F _TOA = 4 dT _s/ T_s      (15)

si on considère que 3.7W/m2 est petit devant (237 - 3.7) W/m2 on assimile 3.7W/m2 à d F _TOA.

la température initiale T_s est de 288°K on obtient une variation de température de surface

Δ T_s = 1.14°C.

alors que l'application "bête" de la loi de Stefan à la surface aurait conduit à :

(3.7/390) * 0.25 * 288 = 0.68°C

Il est intéressant de remarquer que nous avons considéré dans la dérivation logarithmique effectuée que ε était constante.

Dans la réalité, comme la température augmente, la teneur en VE augmente si on suppose le RH constant (nous y reviendrons), suivant Clapeyron.

En conséquence ε varie et augmente dans ce cas.

la dérivation donne :

d F _TOA /  F _TOA = 4 dT _s/ T_s - 0.5 dε / (1-ε/2)

d'où

dT_s = 0.25 [d F _TOA /  F _TOA + 0.5 dε / (1-ε/2)] . T_s   (16)

Pour des variations qui restent faibles on peut donc écrire :

Δ T_s = 0.25 [Δ F _TOA /  (F _TOA - Δ F _TOA ) + 0.5 Δ ε / (1-(ε + Δ ε ) / 2)] . T_s      (17)

à forçage constant Δ T_s est une fonction croissante de ε .

En conséquence la vapeur d'eau constitue un facteur qui amplifie l'action initiale.

C'est une rétroaction positive.

calcul du forçage suite à la variation de la quantité de substance absorbante

la variation de quantité d'une substance absorbante fait varier ε.

on a donc si on reprend l'équation 14 :

F_R =  Δε/2 . σ.T_s⁴     (18)

Le forçage dépend donc de la température de surface.

effet de serre naturel

Nous avons vu, au chapitre 1, que la différence entre la température moyenne de la Terre et la température radiative, ou effective, était de 33°C.

Si on ne veut pas mélanger des choux et des carottes, il faut comparer la température effective avec la température de surface d'une Terre idéalisée dont la température serait la même et constante pour tous les points.

On sait bien que ce n'est pas le cas, malgré le fait que l'inertie thermique est grande, que la circulation atmosphérique est importante.

Toutefois, il n'y a pas de différence de température si grande que cela, étant donné l'influence très modératrice des océans et le fait que les températures très basses concernent des régions limitées de la géosphère.

Concernant les océans, il semble raisonnable d'adopter une variation de température en moyenne pondérée de l'ordre de 10°C.

Pour les terres cette variation serait de l'ordre de 30 à 40°C.

En tenant compte du « poids » des océans (70%) et des terres (30%) on arrive à un delta T de 20°C.

C'est un ordre de grandeur bien sûr.

Si la température moyenne est de 15°C , on peut donc admettre que c'est le résultat d'une variation entre 5°C et 25°C.

En termes de flux radiatifs la loi de Stefan nous donne, respectivement, 339 W/m2 et 447 W/m2.

Soit un flux moyen de 393 W/m2.

Soit encore une température effective de 15.4°C très proche de la température moyenne prise comme base.

On peut en conclure que l'homogénéisation des températures à la surface de la Terre est suffisante pour que l'on puisse appliquer la loi générale.

l'effet de serre, traduit en terme de température peut donc bien se calculer, avec une erreur de l'ordre de 1%, en faisant la différence entre la température moyenne mesurée et la température effective égale à la T de surface en l'absence d'atmosphère absorbante.

s'il n'y a pas d'ES, ε = 0, et suite à l'équation 6,  T_S = [ S(1-α) / σ] ^0.25 = 254,4°K ( ou -18.7°C)

l' effet de serre naturel est donc de 33.7°C.

calcul de l'émissivité de l'atmosphère

on peut avoir une idée de l'émiisvité de l'atmosphère par le fait que le flux IR TOA sortant est égal au flux solaire entrant, soit :

F _TOA = (1-ε/2).σ.T_s⁴ = S(1-α)

il suit :

ε = 2 (1- S(1-α) / σ.T_s⁴ )

on trouve alors:

ε = 0.785

modèle simple à plusieurs couches à émissivité proche de 1 (très absorbante)

Le modèle décrit plus haut ne rend pas compte du comportement d'atmosphères de planètes à absorptivité très forte (Vénus).

on peut approcher ce comportement en utilisant un modèle également très simple à plusieurs couches proches du corps noir (CN)

si ε très voisin de 1, (6) donne

T_s = ( 2S(1-α) / σ)^0.25      (18)

voyons ce que donne la superposition d'une deuxième couche, avec ε voisin de 1, au-dessus de la première.

le bilan est très simple à faire :

on aboutit à :

T_s = (3(1-α)S/σ)^0.25      (19)

avec

T₁ = (2/3)^0.25 T_s

T₂ = (1/3)^0.25 T_s

on peut généraliser à n couches

T_s = ((n+1)(1-α)S/σ)^0.25     (20)

la température d'une couche j est :

T_j = ((n-j+1)/(n+1))^0.25 Ts  (21)

la température de la dernière couche est égale à :

(S(1-α)/σ)^0.25

on retrouve la température d'émission de la planète vue dans le premier chapitre.

cette température, pour la Terre, est de -18°C pour S = 342W/m2 et α = 0.306

il est intéressant de regarder la courbe T_s = f(n) pour les mêmes valeurs de S et α

pour n = 0, on retrouve la température d'émission égale à -18°C.

la température grimpe vite au début et  ralentit ensuite, mais, dans ce modèle, plus on rajoute de couches, donc d'absorbant IR, et plus la température de surface augmente.

Ts est une fonction croissante du nombre de couches.

On remarque que la température de surface peut atteindre des valeurs très élevées, sans limite théorique contrainte par ce simple modèle.

Nous aborderons dans les prochains chapitres les propriétés générales des planètes à effet de serre, puis nous rentrerons dans les modèles un tout petit peu plus complexes avec notamment l'introduction de la notion d'épaisseur optique.